Санчес7678
Число 41 не делится ни на 2^9 ни на 2^99
0 votes Thanks 1
kolobok1431
Будем использовать несколько раз формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) Данное выражение (2⁹ + 2⁹⁹) представим в виде произведения, и если хотя бы один из множителей разделится на 41, то и всё выражение разделится на 41.
Answers & Comments
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Данное выражение (2⁹ + 2⁹⁹) представим в виде произведения, и если хотя бы один из множителей разделится на 41, то и всё выражение разделится на 41.
2⁹ + 2⁹⁹ = (2³)³ + (2³³)³ = (2³ + 2³³)( 2⁶ - 2³⁶+ 2⁶⁶) =
= (2³ + (2¹¹)³)( 2⁶ - 2³⁶+ 2⁶⁶) =
= (2 + 2¹¹)(2² – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ - 2³⁶ + 2⁶⁶) =
= 2(1 + 2¹⁰)(2² – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ - 2³⁶ + 2⁶⁶) =
= 2 (1 + 1024)(4 – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ - 2³⁶+ 2⁶⁶) =
= 2 ∙ 1025 ∙ (4 – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ - 2³⁶+ 2⁶⁶)
Выражение 2⁹ + 2⁹⁹ имеет 4 множителя, один из которых делится на число 41.
1025 : 41 = 25
А если хотя бы один из множителей разделился на 41, то значит и всё выражение 2⁹ + 2⁹⁹ разделится на 41.