Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

найдем стороны:

MN=√(-4+5)²+(4-1)²=√10

NP=√(-1+4)²+(5-4)²=√10

PQ=√(-2+1)²+(2-5)²=√10

QM=√(-5+2)²+(1-2)²=√10

все стороны равны, зн. более того, это ромб. (частный случай параллелограмма).

найдем диагонали:

MP=√(-1+5)²+(5-1)²=√32=4√2

NQ=√(-2+4)²+(2-4)²=√8=2√2

Используем формулу расстояния между двумя точками:

MN² = (х'' - х')² + (y'' - y')²

MN²= (-4+5)² + (4-1)²

MN²= 1+9

MN = √10

Аналогично со сторонами NP,PQ,QM:

NP²=(-1+4)²+(5-4)² PQ²=(-2+1)²+(2-5)²

NP²= 9+1 PQ²= 1+9

NP=√10 PQ=√10

QM²=(-5+2)²+(1-2)²

QM²= 9+1

QM=√10

Так как NM=NP=PQ=QM, тогда MNPQ - квадрат.

Квадрат - это параллелограмм с равными сторонами и кутами по 90°. Тогда MNPQ - параллелограмм.

По аналогии находим NQ и MP - диагонали. NQ = MP - диагонали квадрата.

NQ² = (-2+4)²+(2-4)²

NQ² = 4+4

NQ² = 8

NQ =√8

NQ =2√2

Тогда MP =2√2