Verified answer

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Доказательство по принципу (методу) математической индукции

a=5*7²ⁿ⁺²+2³ⁿ=5*7²ⁿ7²+(2³)ⁿ=5*49*49ⁿ+8ⁿ

1) проверим кратность 41 для n=1

a(1)=(5*49*49+8)/41=293  ⇒   a кратно 41 для n=1

2) предположим что a кратно 41 для n=k

то есть a(k)=5*49*49^k+8^k кратно 41  

3) проверим кратность 41 для n=k+1

a(k+1)=5*49*49^(k+1)+8^(k+1)=5*49*(49^k)*49+(8^k)*8=5*49*(49^k)*(41+8)+(8^k)*8=

=5*49*(49^k)*8+(8^k)*8+5*49*(49^k)*41 =8[5*49*(49^k)+(8^k)]*8+{5*49*(49^k)*41} =a(k)*8+{5*49*(49^k)*41}

a(k)*8 кратно 41 по предположению в п. 2)

{5*49*(49^k)*41} кратно 41 т.к. содержит делитель 41 ⇒

a(k+1) кратно 41

4)  а кратно 41 при n=1 ; из предположения что а кратно 41 следует кратность а 41 при n=k+1  ⇒ по принципу математической индукции

а кратно 41 для любого натурального n