Докажите , что число из любых 23 натуральных чисел можно выбрать ровно 12 , сумма которых делится на 12
Answers & Comments
iosiffinikovРешение опирается на 2 вспомогательных утверждения: !)Среди любых 5 натуральных чисел найдутся 3 числа сумма которых кратна 3. Доказывается очень просто. Рассматриваем остатки чисел от деления на 3 и используем тот факт, что сумма возможных 3-х остатков от деления на 3 равна 3. 2) Среди любых трех натуральных чисел найдутся 2 сумма которых четна. Это, почти очевидно. Среди трех чисел возможны остатки (0,0,0),(1,0,0) , (1,1,0) и (1,1,1).
Из первого утверждения находим, что среди любых 23 натуральных чисел можно выбрать 7 троек сумма чисел в которых делится на 3. Это делается так: берутся любые 5 чисел, находится искомая тройка. Эти 3 числа убираются. Остается 20. И так 6 раз. Остается 5. Из них выбирается последняя СЕДЬМАЯ тройка.
Из этих 7 сумм можно выбрать 3 пары сумм , суммы 6 -ти чисел в которых четны. Это делается точно также. Сначала выбираем 2 тройки. Потом еще 2 и еще один раз.
Из этих трех пар троек (шестерок чисел) можно всегда выбрать одну сумма чисел в которой делится на 4. Она и есть искомая последовательность двенадцати чисел. Сумма делится и на 4 и на 3.
Давал уже ответ на эту задачу. Удалили саму задачу вместе с решением, как Олимпиадную.
Answers & Comments
!)Среди любых 5 натуральных чисел найдутся 3 числа сумма которых кратна 3.
Доказывается очень просто. Рассматриваем остатки чисел от деления на 3 и используем тот факт, что сумма возможных 3-х остатков от деления на 3 равна 3.
2) Среди любых трех натуральных чисел найдутся 2 сумма которых четна. Это, почти очевидно. Среди трех чисел возможны остатки (0,0,0),(1,0,0) , (1,1,0) и (1,1,1).
Из первого утверждения находим, что среди любых 23 натуральных чисел можно выбрать 7 троек сумма чисел в которых делится на 3.
Это делается так: берутся любые 5 чисел, находится искомая тройка. Эти 3 числа убираются. Остается 20. И так 6 раз. Остается 5. Из них выбирается последняя СЕДЬМАЯ тройка.
Из этих 7 сумм можно выбрать 3 пары сумм , суммы 6 -ти чисел в которых четны. Это делается точно также. Сначала выбираем 2 тройки. Потом еще 2 и еще один раз.
Из этих трех пар троек (шестерок чисел) можно всегда выбрать одну сумма чисел в которой делится на 4.
Она и есть искомая последовательность двенадцати чисел. Сумма делится и на 4 и на 3.
Давал уже ответ на эту задачу. Удалили саму задачу вместе с решением, как Олимпиадную.