Докажите, что если (a+b) делится на 9, a*b делится на 9, то:
а) (а^2 + b^2) делится на 9;
б) (а^3 + b^3) делится на 81;
в) (а^3 + b^3) делится на 243.
а) (а^2 + b^2) делится на 9;
б) (а^3 + b^3) делится на 81;
в) (а^3 + b^3) делится на 243.
Answers & Comments
(a + b) : 9
ab : 9
а) a² + b² = (a²+2ab+b²) - 2ab = (a+b)² - 2ab
Так как и уменьшаемое и вычитаемое делятся на 9, то их разность тоже делится на 9.
б) a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²) = (a+b)((a²+2ab+b²)-3ab) =
= (a+b)((a+b)²)-3ab) = (a+b)(a+b)² -3ab(a+b) =
=(a+b)³ -3ab(a+b)
Так как каждый из двух множителей делится на 9, то произведение делится на 9·9 = 81.
Так как (a+b)³ трижды делится на 9, значит, оно делится и на 81;
В выражении 3ab(a+b) по условию ab : 9 и (a+b) :9 делится на 81, то и выражение 3ab(a+b) делится на 9·9=81.
Так как и уменьшаемое и вычитаемое делятся на 81, то их разность тоже делится на 81.
в) a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²) = (a+b)((a²+2ab+b²)-3ab) =
= (a+b)((a+b)²)-3ab) = (a+b)(a+b)² -3ab(a+b) =
=(a+b)³ - 3ab(a+b)
Так как (a+b)³ трижды делится на 9, значит, оно делится и на 9·9·9=729, и на 9·9·3 = 243;
В произведении 3ab(a+b)
первый множитель 3 делится на 3;
второй множитель ab : 9 по условию;
третий множитель (a+b) :9 по условию, значит, всё произведение 3ab(a+b) делится на 3 ·9·9 = 243.
Так как и уменьшаемое и вычитаемое делятся на 243, то их разность тоже делится на 243.