Пусть x = r1, y = r2, x^1/2 + y^1/2 = r3 - заданные в условии рациональные числа.

Тогда

x - y = (x^1/2 - y^1/2)(x^1/2 + y^1/2) - по формуле разложения для разности квадратов. Поскольку x - y = r1 - r2 = r4 - разность двух рациональных чисел есть число рациональное, и x^1/2 + y^1/2 = r3 - рациональное число (по условию), то x^1/2 - y^1/2 = r4/r3 = r5 - частное двух рациональных чисел есть также число рациональное.

Итак,

x^1/2 - y^1/2 = r5 - рациональное число (1)

x^1/2 + y^1/2 = r3 - рациональное число (по условию) (2)

Слкладывая обе части уравнений (1) и (2) получим, что х^1/2 = (r3 + r5)/2 - рациональное число (как сумма и частное рациональных чисел).

Аналогично, вычтя обе части уравнения (2) из обеих частей уравнения (1) получим, что y^1/2 = (r3 - r5)/2 - рациональное число (как разность и частное рациональных чисел).

Таким образом мы доказали, что числа х^1/2 и y^1/2 являются рациональными.