Для доказательство просто рассмотрим два случая: когда - нечетное и когда - четное.
1). - нечетное, то есть .
При всех нечетных натуральных число имеет остаток при делении на .
Доказать это можно таким образом: при число . При получаем . Дальше, при : . Как видим, круг замкнулся и на нечетных будет выскакивать остаток при делении , а при четных - .
Также, при любом натуральном значении число имеет остаток при делении на .
Так происходит, потому что само число , возводимое в степень, равняется по модулю .
Третье слагаемое: будет нацело делиться на :
Значит, если - нечетное, то:
При нечетных все, как видите, сходится.
2). - четное, или же .
Как мы определили ранее, в этом случае и .
При этом второе слагаемое:
Найдем всю сумму:
И при четных утверждение работает.
Как известно, каждое натуральное число либо четное, либо нечетное (третьего не дано) и никаких других натуральных чисел, которые не являются четными и не являются нечетными одновременно, науке неизвестно.
Так что мы рассмотрели все случаи, и в каждом из них результат был равен , то есть делился на .
Answers & Comments
Для доказательство просто рассмотрим два случая: когда
- нечетное и когда 
- четное.
1).
- нечетное, то есть 
.
При всех нечетных натуральных
число 
имеет остаток 
при делении на 
.
Также, при любом натуральном значении
число 
имеет остаток 
при делении на 
.
Третье слагаемое:
будет нацело делиться на 
:
Значит, если
- нечетное, то:
При нечетных
все, как видите, сходится.
2).
- четное, или же 
.
Как мы определили ранее, в этом случае
и 
.
При этом второе слагаемое:
Найдем всю сумму:
И при четных
утверждение работает.
Как известно, каждое натуральное число либо четное, либо нечетное (третьего не дано) и никаких других натуральных чисел, которые не являются четными и не являются нечетными одновременно, науке неизвестно.
Так что мы рассмотрели все случаи, и в каждом из них результат был равен
, то есть делился на 
.