Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.
Answers & Comments
01YES
Пусть ОК=х ОЕ=у ОР=z тогда: S(АВО)=(х*а)/2 S(ВОС)=(у*а)/2 S(СОА)=(z*а)/2 S(АВС)=S(АВО)+S(ВОС)+S(СОА)= (х*а)/2+(у*а)/2+(z*а)/2= (а/2)*(x+y+z) (1) с другой стороны S(АВС)=(а*h)/2 где h - высота высота в равностороннем треугольнике равна h=(а√3)/2 ⇒ S(АВС)=(а*h)/2=(а*((а√3)/2))/2=(а²√3)/4 (2) приравняем (1) и (2) (а/2)*(x+y+z)=(а²√3)/4 x+y+z=[(а²√3)/4]/(а/2) x+y+z=(а√3)/2=h сумма расстояний будет всегда равняться высоте
6 votes Thanks 3
Валерия2801
Спасибо большое,но учитель засомневается, мы так задачи еще не решали, через три неизвестных
01YES
ну это же не система с 3-мя неизвестными, мы просто обозначили расстояния...) ... я думаю по другому она не решается...наверное)...Вы в 8 классе(это задача 8 класса, но из разряда усложненных)?
01YES
обозначьте расстояния(они же высоты) как h1, h2 и h3 так может правдоподобнее будет...
01YES
у Вас в задаче ведь цифр тоже никаких...поэтому мы и взяли буквенное обозначение
Валерия2801
Спасибо огромнейшее, прям огромное ахха
Answers & Comments
ОЕ=у
ОР=z
тогда:
S(АВО)=(х*а)/2
S(ВОС)=(у*а)/2
S(СОА)=(z*а)/2
S(АВС)=S(АВО)+S(ВОС)+S(СОА)=
(х*а)/2+(у*а)/2+(z*а)/2=
(а/2)*(x+y+z) (1)
с другой стороны
S(АВС)=(а*h)/2
где h - высота
высота в равностороннем треугольнике равна h=(а√3)/2 ⇒
S(АВС)=(а*h)/2=(а*((а√3)/2))/2=(а²√3)/4 (2)
приравняем (1) и (2)
(а/2)*(x+y+z)=(а²√3)/4
x+y+z=[(а²√3)/4]/(а/2)
x+y+z=(а√3)/2=h
сумма расстояний будет всегда равняться высоте