Докажите что сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 гр...

August 2022 1 26 Report

Докажите что сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов

Answers & Comments

Guerrino

Многогранный угол составлен боковыми сторонами $n$ -угольной пирамиды, в основании которой лежит выпуклый $n$ -угольник. Рассмотрим одну из таких сторон. Докажем, что $\gamma$ (см. рисунок). Тогда $\cos\theta = \dfrac{\vec{d}\vec{e}}{|\vec{d}||\vec{e}|}$ и $\cos\gamma = \dfrac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{(\vec{d}+\vec{h})(\vec{e}+\vec{h})}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{\vec{d}\vec{e}+h^2}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{\vec{d}\vec{e}+h^2}{\sqrt{d^2+h^2}\sqrt{e^2+h^2}}$ . Вот сейчас будет немного муторно: $\dfrac{\cos\gamma}{\cos\theta} = \dfrac{\underbrace{\vec{d}\vec{e}}_{=s}+h^2}{s\sqrt{1+\dfrac{h^2}{d^2}}\sqrt{1+\dfrac{h^2}{e^2}}}$ . Однако $s+h^2> s\sqrt{1+\dfrac{h^2}{d^2}}\sqrt{1+\dfrac{h^2}{e^2}}$ , действительно, $1+\dfrac{2h^2}{s}+\dfrac{h^4}{s^2}>1+\dfrac{h^2}{e^2}+\dfrac{h^2}{d^2}+\dfrac{h^4}{e^2d^2}$ , что верно, поскольку каждое слагаемое слева (кроме единицы) больше соответствующего слагаемого справа. Поэтому $\cos\gamma >\cos\theta \Rightarrow \gamma$ . Теперь спроецировав вершину $O$ многогранного угла на плоскость (многоугольник), получим, что сумма плоских углов меньше суммы углов при вершине $O'$ проекции $O$ , которая равна в точности $360^{\circ}$ , что и требовалось.

1 votes Thanks 1

dadamuhamedovag спасибо большое!

Answers & Comments

0913a7ddf89aca3420834d5c5183636c

90 648bb60292bc7

4 4 64 5 5

informatika 1opredelite kolichestvo znakov v tekste uzbekistan nezavisimoe gosu

napisat odno predlozhenie s prichastie i odno proverochnoe russkij yazyk 7 klass

prodolzhite ya 1 kto to iz nas dvoih sejchas zajdet na priem stomatologa ya tochno

privedite primery slov sootvetstvuyushih shemam sostavte s etimi slovami slovoso

pomogite reshit zadachu cena izdeliya pervogo sortov v obshej slozhnosti sostavila 1

pomogite pozhalujstaprivedite primery slov sootvetstvuyushih shemam sostavte s e

nizhe perevedeny gradusnye znacheniya nekotoryh uglov1 7 opredelite kakie pary

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social