Докажите, что в любом наборе из 52 целых чисел всегда найдутся такие два числа, что их сумма или разность делится на 100.. Created by pufit. algebra-ru

Если среди этих чисел есть противоположные, то их сложим, получим 0, и он всегда делится на 100. Если среди них есть одинаковые, то вычтем их и тоже получим 0, который делится на 100. Если взаимно противположных и одинаковых нет, объединим это множество чисел с множеством противоположных чисел , они будут отличаться от тех, что есть у всех кроме 0 (если он есть). Получится не меньше 51+51+1=103 числа. Рассмотрим остатки этих 103-ех чисел при делении на 100. Т.к. 103 больше 100, то есть два числа с одинаковым остатком, значит их разность делится на 100. А их разность это, либо разность каких-то исходных, либо их сумма (быть может со знаком минус)

Докажите, что в любом наборе из 52 целых чисел всегда найдутся такие два числа, ...

maxion Если среди этих чисел есть противоположные, то их сложим, получим 0, и он всегда делится на 100. Если среди них есть одинаковые, то вычтем их и тоже получим 0, который делится на 100. Если взаимно противположных и одинаковых нет, объединим это множество чисел $a_1,\ldots a_{52}$ с множеством противоположных чисел $-a_1,\ldots, -a_{52}$ , они будут отличаться от тех, что есть у всех кроме 0 (если он есть). Получится не меньше 51+51+1=103 числа. Рассмотрим остатки этих 103-ех чисел при делении на 100. Т.к. 103 больше 100, то есть два числа с одинаковым остатком, значит их разность делится на 100. А их разность это, либо разность каких-то исходных, либо их сумма (быть может со знаком минус)

7 votes Thanks 4

pufit Большое спасибо!

DimaPuchkov Мысленно представим множества — $[0], [1-99], [2-98], [3-97], ..., [49-51], [50]$ . Соотносим с множеством остаток числа от деления его на 100. Как минимум два числа из 52 будут вместе присутствовать в некотором множестве.

5 votes Thanks 2

maxion Что-то непонятно. Как мы соотносим остаток числа с этим множеством? Что значит множество [1-99]? это множество из одного числа -98? Или из всех чисел от 1 до 99? Вот например получился у одного числа остаток 2. В какое множество мы его отнесем?

DimaPuchkov Если остаток равен 1 или 99, то относим его к этому множеству. Если остаток 2, то 2 -98. Два числа из 52 (и 51 кстати тоже) туда попадут. А в сумме будет 100 (1+99, 2+98)

pufit Ответ Maxion'а был более краток и понятен, хотя вам тоже спасибо!

Answers & Comments

albinizm yavlyaetsya recessivnym autosomnym priznakom a daltonizm recessivnym

v treugolnike abc provedena vysota bn tochka o centr opisannoj okolo abc okru

kakoe chislo budet v znamenateli esli chislo 0136 predstavit v vide obyknoven

reshite v naturalnyh chislah uravnenie xyz k obyasnite pochemu drugih re

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social