Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана проведенная из вершины прямог...

deniza20000 @deniza20000

July 2022 1 11 Report

Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

Answers & Comments

Векторами можно, например. Вообще с нуля, не привлекая никакие описанные окружности и о то, что гипотенуза лежит на её диаметре.

Вводим ортонормированный базис $\left\{\mathbf{i},\mathbf{j}\right\}$ в вершине прямого угла с ортами, направленными по катетам. В этом базисе катеты (AB и AC) будут иметь компоненты $\left(AB; 0\right)$ и $\left(0; AC\right)$ , а гипотенуза $\mathbf{AB} + \mathbf{BC} = \mathbf{AC} \;\; \Rightarrow \;\; \mathbf{BC} = \mathbf{AC} - \mathbf{AB}$ — компоненты $\left(-AB; AC\right)$ .

Половина вектора $\frac{1}{2}\mathbf{BC} = \mathbf{BE}$ , конец E которого будет точкой исследуемой медианы, принадлежащей гипотенузе, имеет компоненты $\left(-\frac{AB}{2}; \frac{AC}{2}\right)$ . Следовательно, медиана $\mathbf{AE} = \mathbf{AB} + \mathbf{BE}$ будет иметь компоненты $\left(AB - \frac{AB}{2}; 0 + \frac{AC}{2}\right) = \left(\frac{AB}{2}; \frac{AC}{2}\right)$ .