Ответ:

Пусть A_1, A_2, A_3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и A_2 лежит между A_1 и A_3. Пусть B_1, B_2, B_3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A_1 A_2= A_2 A_3, то B_1 B_2= B_2 B_3.

Проведем через точку B_2 прямую EF, параллельную прямой A_1 A_3, По свойству параллелограмма A_1 A_2= F B_2, A_2 A_3=B_2 E. И так как A_1 A_2= A_2 A_3, то F B_2=B_2 E.

Треугольники B_2 B_1 F и B_2B_3E равны по второму признаку. У них B_2F=B_2E по доказанному. Углы при вершине B_2 равны как вертикальные, а углы B_2FB_1 и B_2EB_3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных A_1B_1 и A_3B_3 и секущей EF.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: B_1B_2=B_2B_3. Теорема доказана