Докажите неравенство b^2*a-b^3≤a^3-a^2*b, если а>0 и b>0
Answers & Comments
sova761
Переведем все на одну сторону, теперь если выполнится неравенство b^2*a-b^3-a^3+a^2*b ≤0, то выполнится наше неравенство: (в^2а+а^2в)- (в^3+а^3)=ав(в+а)-(в+а)(в^2-ав+а^2)= (в+а)(ав-в^2+ав-а^2)= (в+а)(-в^2+2ав-а^2)= -(в+а)(в^2-2ав+а^2)= -(в+а)(в-а)^2 ≤0. по условию в>0, а>0 тогда в+а>0, (в-а)^2, так как квадрат всегда <_0, как мы видим -(в+а)(в-а)^2 ≤0, минус перед выражением, значит b^2*a-b^3-a^3+a^2*b ≤0
Answers & Comments
если выполнится неравенство b^2*a-b^3-a^3+a^2*b ≤0, то выполнится наше неравенство:
(в^2а+а^2в)- (в^3+а^3)=ав(в+а)-(в+а)(в^2-ав+а^2)=
(в+а)(ав-в^2+ав-а^2)=
(в+а)(-в^2+2ав-а^2)=
-(в+а)(в^2-2ав+а^2)=
-(в+а)(в-а)^2 ≤0.
по условию в>0, а>0
тогда в+а>0,
(в-а)^2, так как квадрат всегда <_0,
как мы видим
-(в+а)(в-а)^2 ≤0, минус перед выражением, значит
b^2*a-b^3-a^3+a^2*b ≤0