Verified answer

Определим координаты точек пирамиды.

Пусть А(0; 0; 0), В(0; 8; 0), С(8; 8; 0) и D(8; 0; 0).

Высота вершины S не известна, примем её равной z.

Координаты вершины S(4; 4; z).

Точка L(6; 6; (z/2)), точка М(4; 4; -8).

Векторы: BL = (6; -2; (z/2)),   модуль равен √(40 + (z²/4)).

               AS = (4; 4; z),          модуль равен √(32 + z²).

Начнём с угла между BL и SA (пусть он равен α).

По заданию tg α = 2√(2/3) = √(8/3).

Определим косинус этого угла (это между векторами BL и SA .

cos α = 1/(√(1 + tg²α) = 1/(√(1 + (8/3)) = √(3/11).

cos α =   |a · b| / |a| · |b| = |6*4 + (-2)*4 + (z/2)*z| /(√(40 + (z²/4))*√(36 + z²)).

Приравняем эту дробь √(3/11) и после решения находим z = 4.

Теперь можно определить векторы MA и LD и угол между ними β.

Векторы: MA = (-4; -4; 8),   модуль равен √96.

               LD = (2; -6; -2),          модуль равен √44.

cos β = (-4*2 - (-4)*(-6) + 8*(-2) / (√96*√44) = 0/(√96*√44) = 0.

Угол β = arc cos 0 = 90 градусов.

Доказано.