Докажите: x^12-x^9+x^4-x+1>0 для любого действительного x
Answers & Comments
iosiffinikov
Х^9*(x^3-1)+x*(x^3-1)+1= (x^3-1)(x^9+x)+1=x*(x^8+1)(x^3-1)+1 Если х меньше, либо равен 0 -неравенство, очевидно верно. Если х больше либо равен 1, тоже верно. Достаточно доказать, что х*(x^3-1)больше либо равен -0,5 при х принадлежащем (0,1). Это эквивалентно: х-x^4<0,5 Но х-х ^2<=0,25 более сильное неравенство, а оно, рчевидно верно: (х-0,5)^2=>0
Answers & Comments
(x^3-1)(x^9+x)+1=x*(x^8+1)(x^3-1)+1
Если х меньше, либо равен 0 -неравенство, очевидно верно.
Если х больше либо равен 1, тоже верно.
Достаточно доказать, что х*(x^3-1)больше либо равен -0,5 при х принадлежащем (0,1). Это эквивалентно: х-x^4<0,5
Но х-х ^2<=0,25 более сильное неравенство, а оно, рчевидно верно:
(х-0,5)^2=>0