пусть меньшее основание ВС, большее AD. В трапеции ABCD образовались два подобных треугольника BOC и AOD (по двум углам). В подобных треугольниках соответственные элементы пропорциональны, как и стороны. Расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований - это части высоты трапеции: до меньшего основания ОМ, до большего ON (вся высота MN проведена через точку О).  Составим пропорцию:   OM/ON = BC/AD <1 (так как BC<AD). Значит, OM/ON тоже <1, а отсюда  OM<ON. 

Verified answer

Нужно решать через подобие треугольников, получившихся в результате пересечения диагоналей. Как докажешь подобие, из вершин этих треугольников опускаешь высоту(которая, в свою очередь служит показателем расстояния от точки пересечения до верхнего и нижнего основания). И т.к верхний треугольник меньше нижнего, то и высота(а следовательно и расстояние от точки пересечения) будет меньше.