x²-8x+18=

=  x²-8x+16 + 2 =

= (x²-2·4·x+4²) + 2 =  

= (х-4)² + 2

В полученной сумме:

первое слагаемое  (х-4)²≥0   при всех значениях x, потому что является квадратом;

второе слагаемое  2 - положительное число,

значит, вся сумма ((х-4)²+2) принимает положительные значения при всех значениях x.

Доказано.