Нет, ни один паук, будь то живущий в доме или в любой другой местности, не может оставлять личинки. У пауков развитие без метаморфозов, это значит, что в процессе их развития у них отсутствует личиночная стадия. После оплодотворения самки она плетёт кокон, в который откладывает яйца, где находятся оплодотворённые яйцеклетки. Из них развивается потомство. Под конец эмбрионального развития из кокона выходят маленькие пауки, которые затем вырастают до пауков привычных размеров. Как вы заметили, личиночной стадии нет.

Если вопрос подразумевал, откладывают ли домашние пауки яйца - да, откладывают, но личинки не оставляют.