Допоможіть порахувати інтеграл. Даю 60 балів. Created by aleks20041506z. matematika-ru

Ответ:Метод замены вычисления интеграла . Методом неопределённых коэффициентов разложили рац. дробь на сумму простейших дробей.

Допоможіть порахувати інтеграл. Даю 60 балів...

dashulka22222

Ответ:

Метод замены вычисления интеграла .

$\displaystyle \int \frac{dx}{x(\sqrt[3]{x}+1)}=\Big[\ x=t^3\ ,\ t=\sqrt[3]{x}\ ,\ dx=3t^2\, dt\ \Big]=\int \frac{3t^2\, dt}{t^3\, (t+1)}=\\\\\\=3\int \frac{dt}{t\, (t+1)}=3\int \Big(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\Big)\, dt=3\cdot \Big(\, ln|t|-ln|t+1|\Big)+C=\\\\\\=3\cdot ln\Big|\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+1}\, \Big|+C$

$\star$ Методом неопределённых коэффициентов разложили рац. дробь на сумму простейших дробей.

$\dfrac{1}{t\, (t+1)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t+1}=\dfrac{A(t+1)+B\, t}{t\, (t+1)}\\\\1=A(t+1)+B\, t\ \ ,\ \ \ 1=At+A+B\, t\ \ ,\\\\t\ \ |\ A+B=0\ \ ,\qquad \qquad B=-A\\t^0\ |\ A=1\ \ ,\qquad \qquad \qquad B=-1\\\\\\\dfrac{1}{t\, (t+1)}=\dfrac{1}{t}+\dfrac{-1}{t+1}\ \ \ \ \ \star$