х^2+9у^4+1>=-3ху^2-х+3у^2

х^2+9у^4+2>=(1-х)(1+3у^2)

х^2+9у^4-6y^2+1+6y^2+1>=(1-х)(1+3у^2)

x^2+(3y^2-1)^2+6^2+2-1>=(1-х)(1+3у^2)

(x-1)(x+1)+(3y^2-1)^2>=-(1+х)(1+3у^2)

(3y^2-1)^2>=-((1+х)(1+3у^2)+(x-1)(x+1))

(3y^2-1)^2>=-((1+х)(3у^2-1+x+1))

Обозначим 3y^2-1=p  и    x+1=q

p^2>=-q*(p+q)

p^2+pq+q^2>=0

p^2+pq+(q^2)/4>=-(3/4)*q^2

(p+0,5q)^2>=-0,75q^2

что верно.

Извините, за длинное решение. Наверное, лучше было замену на p  и   q сделать сразу (или, по крайней мере, раньше).