Поскольку, любое уравнение можно поделить на его старший коэффициент, то будем считать, для удобства, что мы рассматриваем два приведенных кубических уравнения с рациональными коэффициентами.

, - рациональные числа.

Поскольку, данные уравнения имеют общий корень, то уравнение, являющееся их разностью, тоже содержит этот корень:

, поскольку коэффициенты уравнений непропорциональны, то все коэффициенты полученного квадратного уравнения ненулевые.

А значит, данный общий иррациональный корень принимает вид : , где - рациональные числа, при этом не полный квадрат, отсюда в частности .

Попробуем показать, что если   корень уравнения

, то и корень данного уравнения , и наоборот. Сделаем некоторое упрощение.

Если число    является корнем данного уравнения , то сделаем замену:   , тогда после раскрытия скобок данное уравнение так же будет с рациональными коэффициентами и будет иметь корень    

Такое уравнение примет вид :

, - рациональные числа.

Учитывая, что

Предположим, что , но тогда , учитывая, что - не полный квадрат, то левая часть равенства иррациональна, а правая  рациональна, что невозможно. То есть мы пришли к противоречию, а значит :

Таким образом:

Аналогично, доказывается, что если корень данного уравнения, то и корень этого уравнения.

Таким образом, мы доказали, что если   корень уравнения

, то и корень данного уравнения и наоборот.  Аналогично доказывается этот факт и для уравнения:

.

А значит, данные кубические многочлены имеют еще один общий иррациональный корень.

Что и требовалось доказать.