две окружности имеют общую точку M и общую касательную в этой точке . Прямая AB касается одной окружности в точке A ,а другой - вточке B. Найдите угол AMB
Сделаем рисунок. Соединим центры О₁ и О₂ данных окружностей между собой и точками их касания с прямой АВ.. С- точка пересечения касательной, проходящей через М, и прямой АВ. АС=СМ=СВ - как равные отрезки касательных из одной точки. СО₁ и СО₂ - биссектрисы углов АСМ и ВСМ ( центры вписанных окружностей лежат на биссектрисах углов). Угол АСВ - развернутый, равен 180º. Угол О₁СО₂ =90º ( состоит из половин смежных углов) Треугольник АО₁М равнобедренный. Треугольник АСМ -равнобедренный. По свойству равнобедренных треугольников СО₁ содержит биссектрису и высоту этих треугольников. Он пересекает АМ в точке Н. ⇒ Угол СНМ прямой. На том же основании угол СКМ во второй окружности -прямой ( К - точка пересечения МВ и СО₂) В четырехугольнике КСНМ три угла прямые. следовательно, и угол АМВ-90º.
Answers & Comments
Verified answer
Сделаем рисунок.Соединим центры О₁ и О₂ данных окружностей между собой и точками их касания с прямой АВ..
С- точка пересечения касательной, проходящей через М, и прямой АВ. АС=СМ=СВ - как равные отрезки касательных из одной точки.
СО₁ и СО₂ - биссектрисы углов АСМ и ВСМ ( центры вписанных окружностей лежат на биссектрисах углов).
Угол АСВ - развернутый, равен 180º.
Угол О₁СО₂ =90º ( состоит из половин смежных углов)
Треугольник АО₁М равнобедренный. Треугольник АСМ -равнобедренный.
По свойству равнобедренных треугольников СО₁ содержит биссектрису и высоту этих треугольников. Он пересекает АМ в точке Н. ⇒
Угол СНМ прямой.
На том же основании угол СКМ во второй окружности -прямой ( К - точка пересечения МВ и СО₂)
В четырехугольнике КСНМ три угла прямые. следовательно, и
угол АМВ-90º.