Две задачи.
1. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна корень из 3, а диагональ призмы равна 2,5. Найти высоту призмы.
2. Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Точка M является серединой отрезка AB. DM=4, площадь боковой поверхности пирамиды равна 72. Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания.
Answers & Comments
1. Условие: ABCDA1B1C1D1 - правильная четырёхугольная призма
AB=корень из 3=sqrt(3)
B1D=2.5
DD1-?
Решение: Так как призма правильная и четырёхугольная по условию, то фактически перед нами прямоугольный параллелепипед, а значит, его диагональ вычисляется с помощью пространственной теоремы Пифагора, то есть B1D=sqrt(AB^2 + BC^2 + DD1^2).
Так как призма правильная, значит, в основании лежит правильный четырёхугольник или квадрат. А у квадрата все стороны равны, значит, можно упростить, B1D=sqrt(2 * AB^2 + DD1^2). Отсюда, DD1 = sqrt(B1D^2 - 2*AB^2)=sqrt(2.5^2 - 2*3)=sqrt(6.25-6)=sqrt(0.25)=0.5
Ответ: 0,5
2. Условие: DABC - правильная треугольная пирамида
AM=MB
DM=4
Sбок=72
угол DMO-?
Решение: Так как пирамида правильная, значит, её боковые грани - ранвые равнобедренные треугольники, а значит, DM - высота и биссектриса по свойству медианы равнобедренного треугольника. Следовательно, DМ - апофема. Зная апофему и площадь боковой поверхности, можем найти периметр треугольника АВС, лежащего в основании: Sбок=0,5 * Pосн * DM, значит, Pоснования = 36.
Так как пирамида правильная, значит, в основании лежит правильный треугольник, следовательно, АВ=ВС=АС=36:3=12
Вершина D проецируется в плоскость основания АВС. Обозначим проекцию точки через букву О. Расстояние от этой точки до стороны АВ равно ОМ. Отрезок ОМ совпадает с радиусом окружности, вписанной в правильный треугольник АВС, следовательно, ОМ = (sqrt(3)/6)*AB = (sqrt(3)/6)*12 = 2*sqrt(3)
В прямоугольном треугольнике DMO рассмотрим угол DMO. Его косинус равен отношению ОМ к DM, то есть cosDMO=OM/DM=(2*sqrt(3)) /4=(sqrt(3))/2, значит угол DMO = 30 градусов.
Ответ: 30 градусов.