Ответ:

[tex]\displaystyle \int\limits^{\pi /2 }_{0} {\frac{sin^3(x)}{2cos(x)+4} } \, dx=\frac{3}{4}+\frac{3}{2}ln(\frac{3}{2} )[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{\pi /2 }_{0} {\frac{sin^3(x)}{2cos(x)+4} } \, dx=\frac{1}{2} \int\limits^{\pi /2 }_{0} {\frac{sin^2(x)*sin(x)}{cos(x)+2} } \, dx=\frac{1}{2} \int\limits^{\pi /2 }_{0} {\frac{(1-cos^2(x))*sin(x)}{cos(x)+2} } \, dx=[/tex]
Пусть cos(x) = t, тогда -sin(x)*dx = dt
[tex]\displaystyle =-\frac{1}{2} \int\limits^{\pi /2 }_{0} {\frac{(1-cos^2(x))*(-sin(x))}{cos(x)+2} } \, dx = -\frac{1}{2} \int\limits^{\pi /2 }_{0} {\frac{1-t^2}{t+2} } \, dt =[/tex]
Разделим числитель на знаменатель "уголком"(см. вложение)
[tex]\displaystyle = -\frac{1}{2} \int\limits^{\pi /2 }_{0} {2-t-\frac{3}{t+2} } \, dt =-\frac{1}{2}*(2t| ^{\pi /2 }_{0}-\frac{t^2}{2}|^{\pi /2 }_{0}-3*\int\limits^{\pi /2 }_{0} {\frac{1}{t+2} } \, d(t+2) )=-\frac{1}{2}*(2*(cos(\frac{\pi}{2} )-cos(0))-\frac{1}{2}*(cos^2(\frac{\pi}{2} )-cos^2(0))-3*ln|t+2||^{\pi /2 }_{0} ) =[/tex]
[tex]\displaystyle = -\frac{1}{2}*(2*(0-1)-\frac{1}{2}*(0^2-1^2)-3*(ln|cos(\frac{\pi}{2} )+2|-ln|cos(0)+2|) )=-\frac{1}{2}*(2*(-1)-\frac{1}{2}*(-1)-3*(ln|0+2|-ln|1+2|) )=-\frac{1}{2}*(-2+\frac{1}{2}-3*(ln(3)-ln(2)) )=[/tex]
[tex]\displaystyle =-\frac{1}{2}*(-\frac{3}{2}-3ln(\frac{3}{2} ) ) =\frac{3}{4}+\frac{3}{2}ln(\frac{3}{2} )[/tex]