Verified answer

Найти промежутки возрастания/убывания и экстремумы функции f(x)=(x^2-2,5x)/(x+2).

Ответ:

Функция возрастает при х ∈ (-∞;-5]U[1;+∞).

Функция убывает при [-5;-2)U(-2;1].

f(max) = (-12.5); f(min)=(-0,5).

Объяснение:

Находим область определения:

[tex]\Large \boldsymbol {}ODZ: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x+2\neq 0\Longrightarrow x\neq -2\\\\x\in(-\infty;-2)U(-2;+\infty)[/tex]

Найдём производную:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} f'(x)=\left(\frac{x^2-2,5x}{x+2} \right)'=\frac{(x^2-2,5x)'(x+2)-(x^2-2,5x)(x+2)'}{(x+2)^2} =\\\\=\frac{(x+2)(2x-2,5)-x^2+2,5x}{(x+2)^2} =\frac{2x^2-2,5x+4x-5-x^2+2,5x}{(x+2)^2} =\\\\=\frac{x^2+4x-5}{(x+2)^2}[/tex]

Найдём критические точки:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \frac{x^2+4x-5}{(x+2)^2}=0\\\\\left \{ {{x^2+4x-5=0} \atop {(x+2)^2\neq 0}} \right. \Longleftrightarrow\left \{ {{x_1=1 \:and\:\: x_2=-5} \atop {x\neq -2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:} \right.[/tex]

x=1 и х=(-5) - критические точки. х=(-2) не является критической точкой, так как она не входит в ОДЗ.

Разбиваем крит. точками и точкой (-2) координатную прямую на промежутки.

[tex]\Large \boldsymbol {} ++++\boxed{-5} ----\boxed{-2}----\boxed{1} ++++\\\\\Large \boldsymbol {} x_{max} =-5\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_{min} =1[/tex]

При переходе через точку х=(-5) производная функции меняет знак с + на -, поэтому точка х=(-5) - точка максимума функции; при переходе через точку х=1 производная функции меняет знак с - на +, поэтому точка х=1 - точка минимума функции. При переходе через точку х=(-2) производная функции не меняет знак, поэтому эта точка не является точкой максимума/минимума функции.

Находим значения функции в точках её минимума и максимума:

[tex]\Large \boldsymbol {} f_{max} = f(x_{max})=f(-5)=\frac{(-5)^2-2.5*(-5)}{(-5)+2} =\frac{37.5}{-3} =-12.5\\\\f_{min} = f(x_{min})=f(1)=\frac{1^2-2.5*1}{1+2}=\frac{-1.5}{3} = -0.5[/tex]

Экстремумы функции (-0,5) и (-12,5).

Функция возрастает на промежутках, где её производная больше нуля, убывает - меньше нуля.

Функция возрастает при х ∈ (-∞;-5]U[1;+∞).

Функция убывает при х ∈ [-5;-2)U(-2;1].