Verified answer

Ответ:

3. Обчислимо об'єми паралелепіпеда та піраміди, побудованих на векторах a, b, c.

Об'єм паралелепіпеда дорівнює модулю подвійного добутку векторів a, b, c:

Vпар = |a · (b x c)|

де b x c - векторний добуток векторів b та c.

a = 3i + 6j - 8k

b = -i + 4j + k

c = 5i + 2j - k

b x c = (4j + 9i + 22k)

a · (b x c) = 3(9) - 6(4) - 8(4) = -18

Vпар = |-18| = 18

Отже, об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c, дорівнює 18.

Об'єм піраміди дорівнює одній шостій від об'єму паралелепіпеда, побудованого на тих самих векторах:

Vпір = Vпар / 6 = 3

Отже, об'єм піраміди, побудованої на векторах a, b, c, дорівнює 3.

4. Щоб перевірити, чи лежать точки A, B, C, D в одній площині, необхідно перевірити, чи компланарні вектори AB, AC, AD.

Запишемо вектори AB, AC, AD:

AB = B - A = (3-0, 1-2, 1-(-1)) = (3, -1, 2)

AC = C - A = (2-0, -1-2, 0-(-1)) = (2, -3, 1)

AD = D - A = (-4-0, 1-2, 2-(-1)) = (-4, -1, 3)

Тепер знайдемо векторний добуток AB x AC:

AB x AC = (-1)(1 - (-1)) - (-3)(2 - 1)i + (2)(2 - (-3))j

= 2i + 5j + 3k

Підставимо координати точки D, щоб перевірити, чи лежить точка D в тій же площині, що і точки A, B, C:

(AB x AC) · AD = (2)(-4) + (5)(-1) + (3)(3) = -8 - 5 + 9 = -4

Якщо точки A, B, C, D лежать в одній площині, то скаля

Пошаговое объяснение: