Доказать:

(х+1)(у+2)(z+8)≥32√xyz

Доказательство:

Используем неравенство Коши:

a+b ≥ 2√ab

x+1≥2√x

y+2≥2√2y

z+8≥2√8z

перемножим левые и правые части

(x+1)(y+2)(z+8) ≥ (2√x)*(2√2y)*(2√8z) = 8√16xyz = 32√xyz

2.

Доказать:

a²+b²+1/(a²+1)+1/(b²+2) > 1

доказательство

Используем неравенство Коши:

a+1/a ≥ 2   b+1/b ≥ 2

К а² прибавим 1, а к b²прибавим 2,итого прибавили 3,вычтем 3 в конце.

(a²+1)+1/(a²+1) + (b²+2)+1/(b²+2) -3 ≥ 2+ 2 - 3 = 1