Verified answer

Решение.

Для решения этого примера надо найти производную функции

[tex]\bf y=1-\dfrac{1}{2}\, arcsin(2x)[/tex]  

[tex]\bf y'=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}} =-\dfrac{1}{\sqrt{4\cdot \Big(\dfrac{1}{4}-x^2\Big)}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{1}{4}-x^2}}[/tex]    

Решим методом замены.

[tex]\bf \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{\Big(\dfrac{1}{4}-x^2\Big)\Big(1-\dfrac{1}{2}\, arcsin(2x)\, \Big)}}=\int \frac{dx}{\sqrt{\dfrac{1}{4}-x^2}\, \cdot \, \sqrt{1-\dfrac{1}{2}\, arcsin(2x)}}}\\\\\\=\left[\ t=1-\dfrac{1}{2}\, arcsin(2x)\ ,\ dt=-\frac{dx}{2\sqrt{\dfrac{1}{4}-x^2}}\ \right]=\\\\\\=-2\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=-2\cdot 2\sqrt{\, t\, }+C=-4\cdot \sqrt{1-\dfrac{1}{2}\, arcsin(2x)}+C[/tex]