Ответ:

[tex]x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi n}{3},\; \: \; \: n\in Z[/tex]        

[tex]x=\dfrac{2\pi k}{3},\; \: \; \: k\in Z[/tex]

Объяснение:

Решить тригонометрическое уравнение:

[tex]4\cos x \cdot \sin(30^\circ +x)\cdot \cos(60^\circ +x)=\cos^2 3x[/tex]

Представим угол (30° + х) в виде (90° - (60° - х)) и воспользуемся формулой приведения:

[tex]\sin (90^\circ -x)=\cos x[/tex]

[tex]4\cos x \cdot \sin(90^\circ -(60^\circ -x))\cdot \cos(60^\circ +x)=\cos^2 3x[/tex]

[tex]4\cos x \cdot \cos(60^\circ -x)\cdot \cos(60^\circ +x)=\cos^2 3x[/tex]

Применим формулу преобразования произведения в сумму  (1):

[tex]\cos\alpha \cdot \cos\beta=\dfrac{1}{2}\left(\cos (\alpha+\beta)+\cos(\alpha -\beta)\right)[/tex]

[tex]4\cos x\cdot \dfrac{1}{2}(\cos 120^\circ +\cos (-2x))=cos^2 3x[/tex]

[tex]2\cos x\cdot (-\dfrac{1}{2} +\cos 2x)=cos^2 3x[/tex]

[tex]-\cos x+2\cos x\cdot \cos 2x=\cos^2 3x[/tex]

Применим формулу (1) еще раз:

[tex]-\cos x+2\cdot \dfrac{1}{2}(\cos(3x)+cos(-x))=\cos^2 3x[/tex]

[tex]-\cos x+\cos3x+cosx=\cos^2 3x[/tex]

[tex]\cos^2 3x-\cos 3x=0[/tex]

[tex]\cos 3x(\cos 3x-1)=0[/tex]

1) [tex]\cos 3x = 0[/tex]

  [tex]3x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n[/tex]

  [tex]x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi n}{3},\; \: \; \: n\in Z[/tex]

2) [tex]\cos 3x = 1[/tex]

   [tex]3x=2\pi k[/tex]

   [tex]x=\dfrac{2\pi k}{3},\; \: \; \: k\in Z[/tex]