Відповідь:

а + в = 100 единиц.

Пояснення:

Плоскости АВС и А1В1С1 - параллельны. Следовательно секущая плоскость В1С1Р пересечет эти две плоскости по параллельным линиям. Проводим через точку Р прямую параллельную В1С1 и получаем на ребре АС точку Н. Поскольку исходная призма правильная, то треугольники АВС и А1В1С1 - равносторонние, точка Н - середина ребра АС, а отрезок РН - средняя линия треугольника АВС.

РН = ВС / 2 = 12 / 2 = 6 единиц.

Мы получили сечение правильной призмы АВСА1В1С1 плоскостью В1С1Р - трапецию РНС1В1. Найдем её площадь.

В равносторонних треугольниках все углы равны 60°, следовательно высота АО треугольника АВС равна:

АО = АС × sin ( 60° ) = 12 × √3 / 2 = 6 × √3 единиц.

Поскольку РН - средняя линия треугольника АВС, то ОК - половина высоты АО:

ОК = АО / 2 = 6 × √3 / 2 = 3 √3 = √27 единиц.

ОМ равна высоте призмы:

ОМ = 8 единиц.

По теореме Пифагора находим МК:

МК = √ ( ОМ² + ОК² ) = √ ( 8² + √27² ) = √ ( 64 + 27 ) = √91

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

S = ( РЕ + В1С1 ) / 2 × МК = ( 6 + 12 ) / 2 × √91 = 9 × √91 единиц в квадрате.

По условию задачи площадь надо представить в виде S = а × √в, где в - простое число.

а = 9 единиц.

в = 91 единица.

Ответ надо дать в виде а + в.

а + в = 9 + 91 = 100 единиц.