Через дві твірні конуса, кут між якими α, проведено площину, яка утворює з площиною основи кут β, відстань від центра основи конуса до площини перерізу дорівнює d.
1.Розрахуйте висоту перерізу (проведену до основи).
2.Розрахуйте довжину основи перерізу .
3.Знайдіть площу перерізу.
Answers & Comments
Ответ:
1. Высота сечения
[tex]\displaystyle \bf KH=\frac{2d}{sin\;2\beta }[/tex]
2. Длина основания сечения
[tex]\displaystyle \bf AB =\frac{4d\cdot tg\frac{\alpha }{2} }{sin\;2\beta }[/tex]
3. Площадь сечения
[tex]\displaystyle\bf S(AKB)=\frac{4d^2\;tg\frac{\alpha }{2} }{sin^22\beta }[/tex]
Объяснение:
Через две образующие конуса, угол между которыми α, проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β, расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно d.
1. рассчитайте высоту сечения (проведенную к основанию).
2. рассчитайте длину основания сечения.
3. Найдите площадь сечения.
Дано: конус;
∠АКВ = α; ∠КНО = β;
ОЕ = d
Найти: КН; АВ; S(AKB)
Решение:
⇒ ОЕ ⊥ КН.
1. Найдем высоту сечения.
Рассмотрим ΔОЕН - прямоугольный.
ОЕ - катет, ОН - гипотенуза.
[tex]\displaystyle \frac{OE}{OH} =sin\;\beta \\\\\frac{d}{OH}=sin\;\beta \;\;\;\Rightarrow \;\;\;OH=\frac{d}{sin\;\beta }[/tex]
Рассмотрим ΔОКН - прямоугольный.
ОН - катет; КН - гипотенуза.
[tex]\displaystyle \frac{OH}{KH} =cos\;\beta\\ \\KH=\frac{OH}{cos\;\beta } \;\;\;\Rightarrow \;\;\; KH=\frac{d}{sin\;\beta \;cos\beta } \\\\\displaystyle \bf KH=\frac{2d}{sin\;2\beta }[/tex]
2. Найдем длину основания сечения.
Рассмотрим ΔАКВ - равнобедренный.
⇒ ∠АКН = ∠НКВ = α/2; АН = НВ
Рассмотрим ΔКНВ - прямоугольный.
[tex]\displaystyle \frac{HB}{KH} =tg\frac{\alpha }{2} \\ \\HB=KH\cdot tg\frac{\alpha }{2} } \;\;\;\Rightarrow \;\;\; HB=\frac{2d\cdot tg\frac{\alpha }{2} }{sin\;2\beta } \\\\\displaystyle \bf HB=\frac{2d\cdot tg\frac{\alpha }{2} }{sin\;2\beta }[/tex]
[tex]\displaystyle \bf AB=2 HB=\frac{4d\cdot tg\frac{\alpha }{2} }{sin\;2\beta }[/tex]
3. Найдем площадь сечения.
[tex]\displaystyle S(AKB)=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot KH = \frac{1}{2}\cdot \frac{4d\;tg\frac{\alpha }{2} }{sin\;2\beta } \cdot \frac{2d}{sin\;2\beta } =\frac{4d^2\;tg\frac{\alpha }{2} }{sin^22\beta }[/tex]
[tex]\displaystyle\bf S(AKB)=\frac{4d^2\;tg\frac{\alpha }{2} }{sin^22\beta }[/tex]