dnepr1

Verified answer

1) Обозначим высоту h. 
    Эта высота равна √(15² - 12²) = √(225-144) = √81 = 9 см.
    Основание равно √(h² + 3²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10.
     Периметр треугольника Р = 15*2 + 3√10 = 30 + 3√10 = 3(10+√10).
     Площадь S = (1/2) h*15 = (1/2)*9*15 = 67.5 см².
2) Высота трапеции равна H = 16√2*sin 45° = 16√2*(√2/2) = 16 см.
     Проекция большей боковой стороны на нижнее основание равна          с = 16√2*cos 45° = 16√2*(√2/2) = 16 см.
      Верхнее основание равно а = √(20² - Н²) = √(400 - 256) = √144 =
      = 12 см.
      Нижнее основание равно в= а + с = 16 + 12 = 28 см.
      Периметр трапеции равен Р = 6√2+16+12+28 =  56 + 16√2 =
      8(7 + 2√2) см.
      Площадь S = ((a+b)/2)*H =((12+28)/2)*16 = 20*16 = 320 см².
3) медиана прямоугольного треугольника, проведенная                    к гипотенузе, равна половине гипотенузы.         
     Запишем квадраты медиан (а - гипотенуза, в и с - катеты):
     Ma = a²/4    Mb = c²+b²/4     Mc = b²+c²/4
     Сумма квадратов медиан равна:
     Σ =   a²/4 + c²+b²/4 + b²+c²/4.
      Заменим в² + с² = а²   и  b²/4 + c²/4 = а²/4, получим:
      Σ =   a²/4 +а² + a²/4 = 6а²/4 = 3а²/2.