Предупреждаю: я такие задачи не решал. Но в теории разобрался. Поверхностно. Однако, думаю, что для решения задачи этого достаточно.

Дано:

v = 4 МГц = 4*10^6 Гц

ε1 = 4

ε2 = 81

μ = 1

c = 3*10^8 м/с

Δλ - ?

Решение:

С относительной диэлектрической проницаемостью среды связан абсолютный показатель преломления среды:

n = √(εμ)  (!!!)

С другой стороны абсолютный показатель преломления среды равен:

n = c/V, тогда:

c/V = √(εμ)

Я так понимаю, что первая и вторая среда являются немагнитными. Тогда μ = 1. Нам нужно найти прирост длины волны. Сначала заменим скорость V выражением через частоту:

λ = V*T = V/v => V = λv => c/V = c/(λv) = √(εμ)

Выразим длину волны:

c/(λv) = (с/v)/λ = √(εμ) => λ = (с/v)/√(εμ) = (с/v)*(1/√(εμ))

При значении диэлектрической проницаемости среды > 1, длина волны становится меньше, потому что меньше становится скорость волны, ведь длина волны прямо пропорциональна скорости:

λ = V*T = V/v = V*(1/v) => λ ~ V

В первой среде длина волны равна:

λ1 = (с/v)*(1/√(ε1*μ)) - т.к. ε1 > ε (ε приблизительно = 1) и находится в знаменателе дроби, то всё логично - скорость (а значит и длина волны) становится меньше за счёт диэлектрической проницаемости среды.

Во второй среде скорость волны уменьшается ещё больше и её длина - тоже. Проверим это через равенство отношений скоростей и отношений абсолютных показателей:

n = c/V

n1 = c/V1 => V1 = c/n1

n2 = c/V2 => V2 =с/n2

Волна идёт из первой среды, в которой распространяется со скоростью V1, во вторую, следовательно, скорость меняется с V1 до V2. Рассмотрим отношение первой скорости ко второй:

V1/V2 = (c/n1) : (c/n2) = n2/n1

Учитывая равенство (!!!), имеем:

V1/V2 = (√(ε2*μ))/(√(ε1*μ)), тогда выражаем скорость V2:

V2 = V1 : (√(ε2*μ))/(√(ε1*μ)) = V1*(√(ε1*μ))/(√(ε2*μ)) = V1*(√ε1/√ε2)

Заменим cкорость V1 выражением через длину волны λ1:

λ1 = V1/v => V1 = λ1*v, тогда:

V2 = (λ1*v) * (√ε1/√ε2) = (λ1*v*√ε1)/√ε2

Теперь по формуле длины волны получаем выражение для λ2:

λ2 = V2/v = ((λ1*v*√ε1)/√ε2) : v = (λ1*v*√ε1)/(v*√ε2) = (λ1*√ε1)/√ε2 = λ1 * (√ε1/√ε2)

Зная выражение для λ1, выводим:

λ2 = (с/v)*(1/√(ε1*μ)) * (√ε1/√ε2) = (с/v)*(1/√(ε2*μ))

Теперь остаётся выразить изменение длины волны и найти значение:

Δλ = λ2 - λ1 = (с/v)*(1/√(ε2*μ)) - (с/v)*(1/√(ε1*μ)) = (с/(μv))*(1/√ε2 - 1/√ε1) = (3*10^8/(1*4*10^6))*(1/√81 - 1/√4) = (3/4)*10^2*(1/9 - 1/2) = (300/4)*(2/18 - 9/18) = (300/4)*(-7/18) = (150/4)*(-7/9) = (50/4)*(-7/3) = -350/12 = -29,1666... = -29,2 м

Ответ: -29,2 м.