Есть 100 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое любых 6 из них — целое. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?
Из условия следует, что сумма любых 6 чисел из данных 100 делится на 6. Докажем, что все эти числа имеют одинаковый остаток при делении на 6.
Пусть это не так и существуют два числа x и y, дающие разные остатки при делении на 6. Выберем из оставшихся 98 чисел произвольные 5 - a,b,c,d,e. Рассмотрим числа M=a+b+c+d+e+x и N=a+b+c+d+e+y. Легко видеть, что эти числа имеют разные остатки при делении на 6, поскольку числа x и y имеют разные остатки. Следовательно, одно из этих чисел не делится на 6.
Мы получили противоречие, а значит, у всех 100 чисел остаток при делении на 6 одинаковый. Поскольку все числа натуральны, первое из них не меньше 1, второе не меньше 1+6=7, и так далее, последнее не меньше 1+6*99=595.
Ответ: 595.
19 votes Thanks 23
чеLOVEчекz
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА !я знаю что надо писать в лс но сначала надо ответить на вопросы других...
чеLOVEчекz
Два велосипедиста едут по окружности, начав одновременно двигаться из одного места. Скорость первого — 36 км/ч, второго — 30 км/ч. Когда первый велосипедист проехал 10 полных кругов, второму оставалось ехать до конца круга 20 минут. Чему равна длина окружности (в км)?
чеLOVEчекz
В сундуке лежат 160 кубиков трех цветов —- красного, белого и зеленого. Три кубика являются волшебными и периодически они меняют свой цвет (на любой из этих трех). В полдень красных кубиков было больше, чем белых, а белых больше, чем зеленых. Однако в полночь зеленых стало больше, чем белых, а белых больше, чем красных. Сколько белых кубиков было в сундуке в полдень?
чеLOVEчекz
4 Тани и 3 Ани собрали вместе столько же грибов, сколько 3 Маши и 2 Даши. Девочки-тезки собрали разное количество грибов. Никто не вернулся с пустой корзинкой, но и больше 4 грибов ни у кого не было. Сколько грибов собрали Ани?
чеLOVEчекz
Есть 1000 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое любых десяти из них — целое. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?
чеLOVEчекz
Дана строка, состоящая из целых чисел от 1 до 15. Любые два различных числа от 1 до 15 встречаются рядом в этой строке. Какое наименьшее количество чисел может быть в этой строке?
pevel5018
Есть 200 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое любых 6 из них — целое. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?
omserkova
Соответственно первое число и наименьшее ряда какое? ( оно должно быть четным и делится на 3) = 6. Вторая цифра = 12. Сотая = 6*100 = 600. Ответ 600.
Answers & Comments
Verified answer
Из условия следует, что сумма любых 6 чисел из данных 100 делится на 6. Докажем, что все эти числа имеют одинаковый остаток при делении на 6.Пусть это не так и существуют два числа x и y, дающие разные остатки при делении на 6. Выберем из оставшихся 98 чисел произвольные 5 - a,b,c,d,e. Рассмотрим числа M=a+b+c+d+e+x и N=a+b+c+d+e+y. Легко видеть, что эти числа имеют разные остатки при делении на 6, поскольку числа x и y имеют разные остатки. Следовательно, одно из этих чисел не делится на 6.
Мы получили противоречие, а значит, у всех 100 чисел остаток при делении на 6 одинаковый. Поскольку все числа натуральны, первое из них не меньше 1, второе не меньше 1+6=7, и так далее, последнее не меньше 1+6*99=595.
Ответ: 595.