a) Высота правильного тетраэдра DO перпендикулярна плоскости основания АВС. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой АВ. Значит угол между АВ и DO равен 90°.
б) Прямые МК и АС лежат в плоскости основания правильного тетраэдра. Так как точка М - середина стороны АВ треугольника АВС, а точка К - середина стороны ВС тр-ка АВС, то МК - средняя линия ΔАВС. По свойству средней линии треугольника МК ║ АС. Тогда угол между векторами МК и СА будет равен либо 0°, либо 180°. Так как МК и СА - противоположно направленные векторы, то угол будет равен 180°.
в) ВС - сторона равностороннего ΔАВС, на которую опущена высота АК ⇒ ВС ⊥ АК. В силу того,что тетраэдр правильный, то все грани этого тетраэдра - равносторонние (правильные) треугольники. Поэтому ВС - сторона равностороннего ΔВDC, на которую опущена высота DК ⇒ BC ⊥DK.
Оба отрезка , АК и DK , лежат в плоскости ADK. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая ( ВС ) перпендикулярна двум пересекающимся прямым (АК и DK) , лежащим в плоскости ( ADK ), то она перпендикулярна этой плоскости. Значит, прямая ВС ⊥ плоскости ADK, поэтому ВС перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ADK, а том числе и прямой AD. Поэтому угол между ВС и AD равен 90°.
Answers & Comments
Verified answer
a) Высота правильного тетраэдра DO перпендикулярна плоскости основания АВС. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой АВ. Значит угол между АВ и DO равен 90°.
б) Прямые МК и АС лежат в плоскости основания правильного тетраэдра. Так как точка М - середина стороны АВ треугольника АВС, а точка К - середина стороны ВС тр-ка АВС, то МК - средняя линия ΔАВС. По свойству средней линии треугольника МК ║ АС. Тогда угол между векторами МК и СА будет равен либо 0°, либо 180°. Так как МК и СА - противоположно направленные векторы, то угол будет равен 180°.
в) ВС - сторона равностороннего ΔАВС, на которую опущена высота АК ⇒ ВС ⊥ АК. В силу того,что тетраэдр правильный, то все грани этого тетраэдра - равносторонние (правильные) треугольники. Поэтому ВС - сторона равностороннего ΔВDC, на которую опущена высота DК ⇒ BC ⊥DK.
Оба отрезка , АК и DK , лежат в плоскости ADK. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая ( ВС ) перпендикулярна двум пересекающимся прямым (АК и DK) , лежащим в плоскости ( ADK ), то она перпендикулярна этой плоскости. Значит, прямая ВС ⊥ плоскости ADK, поэтому ВС перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ADK, а том числе и прямой AD. Поэтому угол между ВС и AD равен 90°.