Verified answer

Ответ:

1)16

2)-3/4

3)1 ⅓

4)(5√2)/3

Объяснение:

[tex]1)f(x)=4x^3-x^4+10[/tex]

Вспомним формулу производной степенной функции и константы:

[tex]\boxed{\boldsymbol{(x^n)'=nx^{n-1}~;~C'=0}}[/tex]

И тогда мы получим:

[tex]f'(x)=4\cdot 3x^2-4x^3+0=12x^2-4x^3[/tex]

Производная в точке  х₀ = -1:

[tex]f'(-1)=12\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)^3=12+4=16[/tex]

[tex]\displaystyle 2)f(x)= \frac{3}{x-1}[/tex]

Из формулы производной дроби:

[tex]\boxed{\boldsymbol{\bigg(\frac{1}{x^c} \bigg)'=-\frac{c}{x^{c+1}} }}[/tex]

Следует:

[tex]\displaystyle f'(x)=3\cdot \bigg(\frac{1}{x-1} \bigg)'=-\frac{3}{(x-1)^2}[/tex]

Производная в точке x₀ = 3:

[tex]\displaystyle f'(3)=-\frac{3}{(3-1)^2} =-\frac{3}{4}[/tex]

[tex]3)f(x)=\cos^23x+\text{tg} x[/tex]

Тут уже по правилу производной сложной функции:

[tex]\boxed{\boldsymbol{f'(g(x))=f'(x)\cdot g'(x)}}[/tex]

Ещё с учётом того , что производная от суммы равна производной от каждого слагаемого:

[tex]\displaystyle f'(x)=(\cos^23x)'+(\text{tg}x)'=2\cos3x \cdot (\cos3x)'\cdot(3x)'+(\text{tg}x)'=2\cos3x\cdot (-3\sin3x)+\frac{1}{\cos^2x}=-3\sin6x+\frac{1}{\cos^2x}[/tex]

В точке x₀ = π/6:

[tex]\displaystyle f'\bigg(\frac{\pi}{6} \bigg)=-3\sin\bigg(6\cdot \frac{\pi}{6}\bigg)+\frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{6}} =-3\sin\pi+\frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{6}} =\frac{1}{\bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg)^2} =\frac{4}{3} =1\frac{1}{3}[/tex]

[tex]4)f(x)=\sqrt{5x^2-4}[/tex]

По формуле:

[tex]\boxed{\boldsymbol{(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x} } }}[/tex]

И по правилу производной сложной функции мы получим:

[tex]\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{5x^2-4} } \cdot (5x^2)'-4'=\frac{\not2\cdot 5x}{\not2\sqrt{5x^2-4} } =\frac{5x}{\sqrt{5x^2-4} }[/tex]

В точке x₀ = 2√2:

[tex]\displaystyle f'(2\sqrt{2} )=\frac{5\cdot 2\sqrt{2}}{\sqrt{5\cdot (2\sqrt{2})^2-4} } =\frac{10\sqrt2}{\sqrt{5\cdot 4 \cdot 2-4} } =\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{36} } =\frac{\not10 \sqrt{2}}{\not6}=\frac{5\sqrt{2}}{3}[/tex]