Ответ:

0

Пошаговое объяснение:

Определение производной в точке: [tex]\displaystyle f'(x_0)= \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex]. В нашем случае [tex]x_0=0,f(x_0)=f(0)=0[/tex]. Тогда

[tex]\displaystyle f'(0)= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin\left(x^3arctg{\dfrac{1}{x\sqrt{x}}}\right)}{x}[/tex]

Так как арктангенс — ограниченная функция (то есть при умножении 0 на арктангенс не возникнет неопределённости), то аргумент синуса стремится к нулю. Тогда [tex]\sin{x}\sim x[/tex]. Получаем:

[tex]\displaystyle f'(0)= \lim_{x \to 0}\dfrac{x^3arctg{\dfrac{1}{x\sqrt{x}}}}{x}= \lim_{x \to 0} x^2arctg{\dfrac{1}{x\sqrt{x}}}=0[/tex]