Ответ:

5)  Найти площадь области, ограниченной линиями  

 [tex]\bf y=x^2+2x+2\ ,\ \ y=2x+3[/tex]  

Тoчки пересечения линий :

[tex]\bf x^2+2x+2=2x+3\ \ ,\ \ \ x^2=1\ \ ,\ \ x=\pm 1[/tex]  

Площадь области равна определённому интегралу :

[tex]\displaystyle \bf S=\int\limits_{-1}^1\, \Big(2x+3-(x^2+2x+2)\Big)\, dx=\int\limits^1_{-1}\, (1-x^2)dx=\Big(x-\frac{x^3}{3}\Big)\Big|_{-1}^1=\\\\\\=1-\frac{1}{3}-\Big(-1+\frac{1}{3}\Big)=2-\frac{2}{3}=\boxed{\bf \ \frac{4}{3}\ }[/tex]      

6)  Геометрический смысл определённого интеграла  [tex]\bf \displaystyle \int\limits_0^2\, \sqrt{4x-x^2}\, dx[/tex]  

- это площадь области, ограниченная линиями  [tex]\bf y=\sqrt{4x-x^2}[/tex]  ,  

[tex]\bf y=0\ ,\ x=0\ ,\ x=2[/tex]  .

Линия   [tex]\bf y=\sqrt{4x-x^2}[/tex]   представляет из себя верхнюю полуокруж-

ность окружности   [tex]\bf (x-2)^2+y^2=4[/tex]    с центром в точке ( 2 ; 0 ) и

радиусом  R=2 .  Действительно,

[tex]\bf \bf y=\sqrt{4x-x^2}\ \ \Rightarrow \ \ \ y^2=4x-x^2\ \ ,\ \ x^2-4x+y^2=0\ \ ,\\\\ (x-2)^2-4+y^2=0\ \ \Rightarrow \ \ \ \ (x-2)^2+y^2=4\ ,\ \ y\geq 0[/tex]    

Площадь всего круга , ограниченного окружностью с радиусом R-2 ,

равна    [tex]\bf S=\pi R^2=\pi \cdot 2^2=4\pi[/tex]  .

Так как  х изменяется от 0 до 2 , то надо вычислить площадь четверти круга . Площадь четверти круга равна  [tex]\bf S_1=\pi[/tex]   квадратных единиц .  

Ответ:  [tex]\bf \pi[/tex]  .