Ответ:

Задача Коши .

[tex]\displaystyle \bf y'\sqrt{1+x^2}-x=0\ \ ,\ \ y(0)=1\\\\y'=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ \ \Rightarrow \ \ \ \int dy=\int \frac{x\, dx}{\sqrt{1+x^2}}\ \ ,\ \ \int dy=\frac{1}{2}\int \frac{2x\, dx}{\sqrt{1+x^2}}\ \ ,\\\\\\ \int dy=\frac{1}{2}\int \frac{d(1+x^2)}{\sqrt{1+x^2}}\ \ ,\\\\\\y=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1+x^2}+C[/tex]

Общее решение :   [tex]\bf y=\sqrt{1+x^2}+C[/tex]   .

Подставляем начальные условия.

[tex]\bf x=0\ ,\ y=1\ \ \Rightarrow \ \ \ 1=\sqrt{1+0^2}+C\ \ ,\ \ \ 1=1+C\ \ ,\ \ C=0[/tex]  

Частное решение :   [tex]\bf y=\sqrt{1+x^2}[/tex]   .