Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Прямая, содержащий высоту, проведенную из вершины С, вторично пересекает описанную окружность около треугольника в точке К. Докажите, что сторона АВ пересекает отрезок НК в его середине.

Решение.

1) ΔАРН ∼ ΔСМН по 2-м углам : ∠АНР=∠СНМ как вертикальные , ∠АРН=∠СМН=90 ⇒ соответственные углы равны ∠РАН=∠МСН.

2) Но угол ∠МСН это вписанный угол , опирающийся на хорду КВ. На эту же хорду КВ опирается и вписанный ∠КАВ ⇒ ∠КАВ=∠МСН.

Поэтому ∠РАН=∠КАВ или ∠РАН=∠КАР .

3) ΔКАР= ΔНАР как прямоугольные по катету и острому углу ::

АР-общая, ∠КАР=∠РАН .

В равных треугольниках соответственные элементы равны ⇒ КР=РН.