Ответ:

A

[tex]\boldsymbol{\boxed{F(x) = (0,25x + 1)^{4}+5}}[/tex]

Примечание:

По таблице интегралов:

[tex]\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}[/tex]

По свойствам интегралов:

[tex]\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}[/tex]

Пошаговое объяснение:

Первообразной для функции [tex]f(x)[/tex] является такая функция [tex]F(x)[/tex], что выполняется соотношение:

[tex]F'(x) = f(x)[/tex]

Для нахождения функции [tex]F(x)[/tex] необходимо проинтегрировать функцию [tex]f(x)[/tex], то есть:

[tex]\displaystyle F(x) = \int {f(x)} \, dx[/tex]

По условию [tex]f(x) = (0,25x + 1)^{3}[/tex] и [tex]F(0) = 6[/tex].

[tex]\displaystyle F(x) = \int {(0,25x + 1)^{3}} \, dx = 4\int {(0,25x + 1)^{3}} \, d(0,25x + 1) = (0,25x + 1)^{4}+C[/tex]

[tex]F(0) = 6[/tex]

[tex](0,25 \cdot 0 + 1)^{4}+C =6[/tex]

[tex](0 + 1)^{4} + C = 6[/tex]

[tex]1 + C = 6[/tex]

[tex]C =5[/tex]

Тогда [tex]F(x) = (0,25x + 1)^{4}+5[/tex].