Відповідь:

a) Для знаходження проміжків зростання і спадання функції необхідно знайти її похідну і визначити знаки на різних інтервалах. Знайдемо похідну:

f'(x) = 6x² - 24x + 18

Розв'язавши рівняння f'(x) = 0, знайдемо точки перетину з осі абсцис:

6x² - 24x + 18 = 0

x² - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

Отже, точки перетину з осі абсцис дорівнюють x₁ = 1 та x₂ = 3.

Тепер розглянемо знаки похідної на інтервалах (-∞, 1), (1, 3) і (3, +∞):

f'(x) < 0 на (-∞, 1)

f'(x) > 0 на (1, 3)

f'(x) < 0 на (3, +∞)

Отже, функція зростає на інтервалах (1, 3), а спадає на (-∞, 1) та (3, +∞).

б) Для знаходження точок екстремуму необхідно знайти значення функції у критичних точках і порівняти їх з значеннями функції на сусідніх інтервалах.

Знайдемо значення функції у критичних точках:

f(1) = 2·1³ - 12·1² + 18·1 = 8

f(3) = 2·3³ - 12·3² + 18·3 = 0

Порівняємо значення функції у критичних точках з значеннями на сусідніх інтервалах:

f(0) = 0, f(2) = 4

f(4) = 24

Отже, точка (1, 8) є точкою мінімуму функції, а точка (3, 0) є точкою максимуму.

в) Побудуємо ескіз графіка функції, використовуючи отриману інформацію про знаки похідної та точки екстремуму:

image

На графіку видно, що функція зростає на інтервалі (1, 3)