Покрокове пояснення:

[tex]\displaystyle\\f(x)=2x-x^2\ \ \ \ \ \ y=0\ \ \ \ \ \ S=?\\\\2x-x^2=0\\\\x^2-2x=0\\\\x*(x-2)=0\\\\x_1=0.\\\\x-2=0\\\\x_2=2.\ \ \ \ \ \ \Rightarrow\\\\S=\int\limits^2_0 {((2x-x^2)-0)} \, dx =\int\limits^2_0 {(2x-x^2)} \, dx =(x^2-\frac{x^3}{3} )\ |^2_0=2^2-\frac{2^3}{3} =\\\\=4-\frac{8}{3} =4-2\frac{2}{3} =1\frac{1}{3}=\frac{4}{3} .[/tex]

Відповідь: S≈1,33333 кв. од.

Ответ:        1 1/3 кв.ед.

Пошаговое объяснение:

Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями

y= 2x − x^2

y = 0

Строим графики функций.  (См. скриншот)

Площадь определяем по формуле Ньютона-Лейбница

S=∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a).

∫ₐᵇ f(x) dx=F(x)|ₐᵇ.

По графику определяем пределы интегрирования  a=0;  b=2. Тогда

S=∫₀²(2x-x^2) = 2x²/2 - x³/3|₀² = x²|₀²-x³/3|₀² =

= 4-8/3 = 4-(2 2/3) = 1 1/3 кв.ед.