Ответ:

Дослідіть функцію f(x)=2x^2-x4 та побудуйте її графік

Как это понимать: -x4? х в четвёртой степен

главный мозг

13.4 тыс. ответов

137.3 млн пользователей, получивших помощь

Дана функция у = 2х² - х⁴.

1.Область определения функции: x ∈ R, или -∞ < x < ∞.

2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.

2х² - х⁴ = 0, х²(2 - х²) = 0. Тогда х² = 0 и (или) 2 - х² = 0.

x₁ = 0.

x₂ = √2.

х₃ = -√2.

Точки пересечения графика функции с осью ОУ при х = 0 ⇒ у = 0.

3. Промежутки знакопостоянства функции.

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) надо решить неравенства f(x)>0, f(x)<0.

По пункту 2 имеем 4 промежутка значений аргумента, в которых функция сохраняет знак:

(−∞;−√2), (−√2;0), (0;√2), (√2;+∞).

Для того, чтобы определить знак функции на каждом из этих промежутков, надо найти значение функции в произвольной точке из каждого промежутка. Точки выбираются из соображений удобства вычислений.

x = -2 -1 1 2

y = -8 1 1 -8.

В промежутках (−∞;−√2) и (√2;+∞) функция принимает отрицательные значения, в промежутках (−√2;0) и (0;√2) функция принимает положительные значения.

4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).

Итак, проверяем:

- x^{4} + 2 x^{2} = - x^{4} + 2 x^{2}

- Да

- x^{4} + 2 x^{2} = - -1 x^{4} - 2 x^{2}

- Нет

Значит, функция является чётной.

5. Периодичность графика - нет.

6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты - нет.

7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.

Находим производную заданной функции:

y' = 4x - 4x³.

Приравниваем производную нулю: 4x - 4x³ = 4x(1 - x²) = 0,

4x = 0, x = 0.

x² = 1, х = 1, x = -1.

Критических точек три: х = 0, х = 1, x = -1.

Находим значения производной левее и правее от критических.

x = -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2

y' = 24 0 -1.5 0 1.5 0 -24.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.

Убывает на промежутках (-oo, -1] U [0, oo).

Возрастает на промежутках (-oo, 0] U [1, oo).

8. Интервалы выпуклости, точки перегиба.

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0

(вторая производная равняется нулю),

корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.

Вторая производная 4 \left(- 3 x^{2} + 1\right) = 0.

Решаем это уравнение.

Корни этого уравнения:

x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}

x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:

Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:

Вогнутая на промежутках [-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3].

Выпуклая на промежутках (-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo).

9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты - нет.

10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график.

11. Построение графика функции - дан в приложении.