Являются ли функции F(x) первоначальной для функций f(x) от (-∞;+∞):

1) F(x) = x^5 + 2х - 3, f(x) = 5х^4 – 2;

2) F( x) =cos3x, f(x) =-3sin3x

---------------------------------------------

Производная первообразной F(x) - это и есть первоначальная функции f(x).

• [tex]\displaystyle1) \: F(x) = x^5 + 2x - 3[/tex]

• [tex]\displaystyle\:\:\:\: \boldsymbol{F'(x) = 5x^{5 - 1} + 2x^{0} = 5x {}^{4} + 2}\\[/tex]

Первообразная F(x) = x^5 + 2х - 3 не является первоначальной функции f(x) = 5х^4 – 2(возможно описка в условии).

• [tex]\displaystyle 2)\: F(x) = \cos3x[/tex]

• [tex]\displaystyle \:\:\:\:\boldsymbol{ F'(x) = \cos3x = (cos3x)' \,*\, (3x)' = -\sin3x\,*\, 3 = -3\sin3x}\\[/tex]

Да, первообразная F(x)=cos3x является первоначальной функции f(x) =-3sin3x.