F(x) = x^4 – 2x² - 8 . Решить по этому плану .. Created by Артур998. algebra-ru

1. Область определения - все действительные числа: 2. Исследование функции на четность: - функция четная3. Точки пересечения с осями координат: Точки пересечения с осью х: (2; 0); (-2; 0)Точка пересечения с осью y: (0; -8)4. Исследование функции на монотонность и экстремумы:Точка минимума ; минимум Точка максимума ; максимум: Точка минимума ; минимум При функция убываетПри функция возрастает5. Исследование функции на выпуклость/вогнутость:Точки перегиба: и Ординаты этих точек: При функция выпуклаПри функция вогнута6. Построение графика:Имеющиеся точки: (2; 0); (-2; 0); (0; -8); (-1; -9); (1; -9); ; Просчитаем еще две точки:Достаточно построить график в правой полуплоскости и отобразить его в левую, так как функция четная

F(x) = x^4 – 2x² - 8 . Решить по этому плану...

Артур998 @Артур998

August 2022 1 15 Report

F(x) = x^4 – 2x² - 8 . Решить по этому плану .

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

$f(x)=x^4-2x^2-8$

1. Область определения - все действительные числа: $x\in R$

2. Исследование функции на четность:
$f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-8=x^4-2x^2-8=f(x)$ - функция четная

3. Точки пересечения с осями координат:
$x^4 - 2x^2 - 8=0
\\\
D_1=(-1)^2-1\cdot(-8)=1+8=9
\\\
x^2=1+3=4; \ x=\pm2
\\\
x^2 \neq 1-3=-2\ \textless \ 0$
Точки пересечения с осью х: (2; 0); (-2; 0)
$f(0)=0^4-2\cdot0^2-8=-8$
Точка пересечения с осью y: (0; -8)

4. Исследование функции на монотонность и экстремумы:
$f'(x)=4x^3-4x
\\\
f'(x)=0:
\\\
4x^3-4x=0
\\\
4x(x^2-1)=0
\\\
4x(x-1)(x+1)=0$
Точка минимума $x_{\min}=-1$ ; минимум $y_{\min}=(-1)^4-2\cdot(-1)^2-8=1-2-8=-9$
Точка максимума $x_{\max}=0$ ; максимум: $y_{\max}=-8$
Точка минимума $x_{\min}=1$ ; минимум $y_{\min}=1^4-2\cdot1^2-8=1-2-8=-9$
При $x\in(-\infty;-1]\cup[0;1]$ функция убывает
При $x\in [-1;0]\cup[1;+\infty)$ функция возрастает

5. Исследование функции на выпуклость/вогнутость:
$f''(x)=12x^2-4
\\\
f''(x)=0:
\\\
12x^2-4=0
\\\
3x^2-1=0
\\\
x^2= \frac{1}{3} 
\\\
x=\pm \frac{ \sqrt{3} }{3}$
Точки перегиба: $x=- \frac{ \sqrt{3} }{3}$ и $x= \frac{ \sqrt{3} }{3}$
Ординаты этих точек: $y=( \frac{1}{3} )^2-2\cdot \frac{1}{3} -8= \frac{1}{9} - \frac{2}{3} -8= \frac{1}{9} - \frac{6}{9} -8=- \frac{5}{9} -8=-8 \frac{5}{9}$
При $x\in(-\infty; -\frac{ \sqrt{3} }{3}]\cup[\frac{ \sqrt{3} }{3};+\infty)$ функция выпукла
При $x\in [- \frac{ \sqrt{3} }{3}; \frac{ \sqrt{3} }{3}]$ функция вогнута

6. Построение графика:
Имеющиеся точки: (2; 0); (-2; 0); (0; -8); (-1; -9); (1; -9); $(- \frac{ \sqrt{3} }{3}; -8 \frac{5}{9})$ ; $( \frac{ \sqrt{3} }{3}; -8 \frac{5}{9})$
Просчитаем еще две точки:
$f(- \frac{3}{2} )=f( \frac{3}{2} )=( \frac{3}{2} )^4-2\cdot ( \frac{3}{2} )^2-8=
 \frac{81}{16} -2\cdot \frac{9}{4} -8=
\\\
= \frac{81}{16} - \frac{18}{4} -8=\frac{81}{16} - \frac{72}{16} - \frac{128}{16} =
- \frac{119}{16} =-7 \frac{7}{16}$
Достаточно построить график в правой полуплоскости и отобразить его в левую, так как функция четная

1 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social