Ответ:

f(x) max  = 21

[tex]\sf f(x) min = - 1 \dfrac{13}{27}[/tex]

Объяснение:

Рассмотрим промежуток [ 0 ;  2]
В данном промежутке модуль раскроется с минусом

[tex]f(x) = x^3 - 2x|x-2| = x^3 - 2x \cdot \Big(-(x-2)\Big) = x^3 + 2x^2 -4x[/tex]

Найдем производную

[tex]f'(x) = (x^3 + 2x^2 -4x)' = 3x^2 + 4x - 4[/tex]

Найдем критические точки

[tex]3x^2 + 4x - 4 = 0 \\\\ D = 16 + 48 = 64 \\\\ x_ 1 = \cfrac{-4 + 8}{6} = \cfrac{2}{3} \\\\ x_2 =\cfrac{-4-8}{6}= -2[/tex]

Только первая точка принадлежит промежутку [ 0 ;  2]

Находим значение нашей функции на концах отрезка  [ 0 ; 2] и критической точке

[tex]\displaystyle f(0) = 0^3 -2\cdot 0 |0 - 2| = 0 \\\\ f\bigg(\dfrac{2}{3} \bigg) = \bigg (\dfrac{2}{3}\bigg )^3 - 2\cdot \frac{2}{3}\cdot \bigg|\frac{2}{3}-2 \bigg| = \frac{8}{27}- \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3} = \frac{8-48 }{27 } = -1\frac{13}{27} \\\\\\ f(2) = 8 - 2\cdot 2 \cdot |2-2| = 8[/tex]

Рассмотрим промежуток  [2 ; 3] , тогда модуль раскроется с плюсом

[tex]f(x) = x^3 - 2x|x-2| = x^3 - 2x \cdot (x-2) =x^3 - 2x^2 + 4x[/tex]

[tex]f'(x)= (x^3 - 2x^2 +4x)' = 3x^2 -4x + 4 \\\\\ 3x^2 - 4x + 4 = 0\\\\ D = 16 - 48 < 0[/tex]

⇒  в данном случае функция не имеет критических точек ,  найдем значение функции при  конце отрезка который равен 3

[tex]f(3) = 3^3 - 2\cdot 3 \cdot |3-2| = 27 - 6 = 21[/tex]

Тогда :

[tex]f(3) > f(2) > f(0) > f(2/3)[/tex]  ⇒

f(x) max  = 21

[tex]f(x) min = - 1 \dfrac{13}{27}[/tex]