X, Y - центры окружностей ACD и ABE; O - центр окружности ABC

△XTO~△ABC (∠A =внешнему ∠T =∠X; проекции сторон XT и XO пропорциональны сторонам AB и AC)

Параллелограмм OXTY составлен из двух треугольников, подобных ABC => угол между его диагоналями, то есть между линией центров XY и AO не зависит от выбора точки D.

Общая хорда AH перпендикулярна линии центров => угол хорды AH и положение точки G не зависят от выбора точки D.

Пусть точки D и E совпадают в точке A.

Тогда окружности касаются сторон AB и AC.

∠ABH=∠CAH, ∠ACH=∠BAH => △AHB~△CHA

высоты из H пропорциональны сторонам AB и AС

=> Н лежит на симедиане к основанию BC.

По свойству симедианы BG/GC =(AB/AC)^2