ГЕОМЕТРИЯ, 11 КЛАСС, 56 БАЛЛОВ
В треугольной пирамиде ABCD известно: AB=CD=4, AD=BC=8, ∠ABC=120∘. Найдите R^2, где R — радиус наименьшего шара, в который можно поместить такую пирамиду.
С простым или хотя-бы поверхностным пояснением, спасибо
В треугольной пирамиде ABCD известно: AB=CD=4, AD=BC=8, ∠ABC=120∘. Найдите R^2, где R — радиус наименьшего шара, в который можно поместить такую пирамиду.
С простым или хотя-бы поверхностным пояснением, спасибо
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
R² = 28 ед.
Объяснение:
По теореме косинусов АС² = АВ² + ВС² - 2·АВ·ВС·Cos120.
АС² = 16 + 64 - 2·4·8·(-1/2) = 112. √112 ≈ 10,6 ед.
Ребро АС - большее из всех ребер пирамиды (по теореме о неравенстве треугольника).
Найдем высоту треугольника ADC h.
Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Выразим в обоих треугольниках h по теореме Пифагора и приравняем оба выражения:
AD² - (AC-x)² = DC² - x².
64 - 112 + (2√112)·x - x² = 16 - x². => x ≈ 3.
h ≈ √(16-9) ≈ 2,6 ед. Следовательно, высота нашей пирамиды еще меньше, так как перпендикуляр меньше наклонной из точки D к плоскости основания.
Поэтому минимальный диаметр шара, в который поместится данная пирамида, равен АС, поскольку диаметр - наибольшая из хорд.
AC = D = 2R.
4R² = 112 => R² = 28 ед.