Задача:

Записать уравнение окружности, если точка А(2; 5) принадлежит окружности, а центр окружности имеет координаты О(7; −1).

Решение:

Уравнение окружности имеет вид:

    (x − a)² + (y − b)² = R², где:

         (a; b) —  координаты центра (смещение от Oxy);

         (х; у) — координаты любой точки окружности;

         R — радиус окружности.

Отрезок AB — радиус окружности (R)

    |AB|² = (y₂ − y₁)² + (x₂ − x₁)²

    |AB|² = (−1−5)² + (7−2)²

    AB = √(6²+5²) = √(36+25) = √61

т. О(7; −1) ⇒ a = 7, b = −1.

Подставим значения в формулу (x − a)² + (y − b)² = R²:

(x − 7)² + (y + 1)² = 61

Ответ:

Уравнение окружности (x − 7)² + (y + 1)² = 61

Задача:

Проверить, принадлежит ли точка окружности, заданной уравнением x² + (y − 1)² = 25

Решение:

Подставим значение координат точки и проверим, тождественно ли уравнение:

A(5; −1)

    5²+(−1−1)² = 25

    25+4 = 25

    29 ≠ 25 ⇒ т. A не принадлежит данной окружности

B(−5; 1)

    (−5)²+(1−1)² = 25

    25+0 = 25

    25 = 25 ⇒ т. B принадлежит окружности

C(0; 6)

    (0)²+(6−1)² = 25

    0+25 = 25

    25 = 25 ⇒ т. C принадлежит окружности

K(0; −6)

    (0)²+(−6−1)² = 25

    0+49 = 25

    49 ≠ 25 ⇒ т. K не принадлежит окружности

M(3; 5)

    3²+(5−1)² = 25

    9+16 = 25

    25 = 25 ⇒ т. M принадлежит окружности

Ответ:

Точки B(−5; 1), C(0; 6) и M(3; 5) принадлежат заданной окружности, точки A(5; −1) и K(0; −6) не принадлежат окружности.